Let's do mathematics – Mathematik erleben

Im Rahmen einer Initiative der VolkswagenStiftung "Perspektiven der Mathematik an der Schnittstelle von Schule und Hochschule" bietet der Fachbereich Mathematik und Informatik der Martin-Luther-Universität Halle auch im Jahre 2002 einige Veranstaltungen an.
Hier soll am Beispiel der Mathematik in wissenschaftliche Arbeitsmethoden eingeführt werden. Dies bedeutet Beobachten und Experimentieren, Erkennen und Prüfen, Verallgemeinern und Zusammenfassen. Besonderer Wert wird dabei auf Teamarbeit in kleinen Teams von 3 – 4 Schülern gelegt. Jedes Team wird von einem studentischen Tutor betreut. Wichtig ist dabei immer, dass das Team sich selbstständig die Theorie und Lösung der Probleme erarbeitet.

• Wer kann sich bewerben?

Schülerinnen und Schüler, die sich zum Zeitpunkt der jeweiligen Veranstaltungen in einer der beiden Abschlussklassen befinden. Wichtig ist ein Interesse an Mathematik, das über den normalen Schulalltag hinaus geht.
• Für was kann man sich bewerben?

Im Rahmen der Veranstaltung finden Projekte und Kurse statt.
1. Projekte

Es gibt eine Auswahl von 4 Projekten. Man kann sich für genau ein Projekt bewerben. Pro Projekt werden 3 Schüler angenommen. Die Projekte finden alle vom 1.10. bis 5.10.2002 statt. Für die Tage, die nicht in die Herbstferien fallen, müssen sich die Teilnehmer eine Schulbefreiung besorgen. Dazu kommen zwei Samstagsveranstaltungen von jeweils 5 Std. Dauer, in denen in das Computeralgebrasystem Mathematica und das Internet eingeführt wird. Diese Kurse finden am 14.9.2002 und 29.9.2002 statt. Am ersten Tag des Projektes wird in die zur Lüsung notwendige Theorie ingeführt. Danach arbeiten die Teilnehmer mit einem studentischen Tutor zusammen an der Lösung der Aufgabe. Am letzten Tag stellen alle Teams ihre Lösung vor. An jedem Tag gehen wir von 5 Stunden Anwesenheit aus.

Die konkreten Projekte sind:

Mathematische Modelle in der Landschaftsplanung
Der Strukturwandel in der Region Halle-Merseburg-Leipzig führt zu einer wirtschaftlichen Umorientierung, vom Bergbau hin zu neuen Nutzungen, z. B. als Freizeit- und Erholungsstandorte, als Gewerbe- und Wohngebiete.
Zielstellung des Projektes ist es, mathematische Methoden der Standortoptimierung und der mehrkriteriellen Entscheidungstheorie anzuwenden, um den Planungsbehörden Entscheidungshilfen zur Verfügung zu stellen.

Rekursive Strukturen
Rekursivität scheint ein grundlegendes Muster sowohl für mathematische Strukturen als auch für physikalische Objekte zu sein. Die Ziele des Projektes sind:


• eine Sammlung rekursiver Strukturen mathematischer und nichtmathematischer Art (Fibonacci-Folge, Kettenbrüche, Fraktale, Computerprogramme ...) anzulegen
• Definitionen für die Begriffe "Rekursion", "rekursiv aufzählbare Menge" und "rekursive Menge" zu geben und die angelegte Sammlung entsprechend zu klassifizieren,
• Beispiele für chaotisches Verhalten einer rekursiv aufzählbaren Menge zu finden und
• Eigenschaften zu diskutieren, die sichern, dass eine rekursiv aufzählbare (rekursive) Menge auch auf nicht-rekursive Art beschrieben werden kann.

Wie genau ist mein Taschenrechner? – Fehlerbetrachtungen zu Computerberechnungen
In dem Projekt sollen die Auswirkungen von Rundungsfehlern bei der Abspeicherung von Dezimalzahlen im Computer untersucht werden.
In einem ersten theoretischen Teil wird die Dualdarstellung von gebrochenen Zahlen behandelt. Es wird verdeutlicht, dass Endlichkeit von Dezimalbrüchen nicht auch Endlichkeit der Dualdarstellungen bedeutet und untersucht, wieviel Dualstellen notwendig sind um gewisse Fehlerschranken einzuhalten.
Im zweiten Teil soll unter Verwendung von MATHEMATICA die Fehlerfortpflanung bei verschiedenen Berechnungen und deren Auswirkungen auf das Ergebnis verdeutlicht werden. Zu Vergleichszwecken wird dabei insbesondere auch die Fähigkeit des Formalalgebrasystems genutzt, exakt zu rechnen.

Nichtlineare Optimierung
Es erfolgt eine Herleitung von Optimalitätsbedingungen für Aufgaben mit verschiedenen Beschränkungen, u. a. des LAGRANGEprinzips. Die erhaltenen Kriterien sollen selbständig auf Beispiele aus Geometrie und Physik und zum Beweis von Ungleichungen angewandt werden.

2. Kurse

Es werden 3 Kurse angeboten, die, bis auf den ersten, jeweils über 3 Samstage gehen. Der typische Kursablauf sieht wie folgt aus: Vormittags, beginnend um 9.30 Uhr, 2 Stunden Vorlesung. Nachmittags werden in kleinen Gruppen (4 Schüler) die morgens in der Vorlesung gestellten Aufgaben gelöst (3 Std.). Danach kommen alle im Plenum zusammen und besprechen mit dem Dozenten die Aufgabenlösungen. Ein Kurstag endet jeweils um 16 Uhr. Da die Kurse nicht parallel sind, kann man sich für alle anmelden. Pro Kurs können 20 Schüler zugelassen werden.

Die Kurse im einzelnen sind (in Klammern sind die jeweiligen Termine angegeben):

Fehlerkorrigierende Codes (18.02. – 20.02.2002)
Zur fehlerfreien Datenübertragung und -speicherung werden sogenannte fehlerkorrigierende bzw. fehlererkennende Codes eingesetzt. Dafür wurden seit ca. 50 Jahren mathematische Methoden zur Konstruktion derartiger Codes entwickelt. Diese Methoden stammen aus den Teilgebieten Diskrete Mathematik, z. B. Kombinatorik, der Algebra oder der Zahlentheorie. Der Kurs gibt eine Einführung in die Problematik und erläutert einige elementare Konstruktionsmethoden sowie das dazugehörige mathematische Hintergrundwissen.

Das Iterationsprinzip in der Numerik (1.06., 8.06., 15.06.2002)
Eines der wichtigsten Prinzipien in der Numerik ist die Iteration. Es wird an ausgewählten Methoden zur Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen erläutert. Einige der Algorithmen sollten programmiert und an Beispielen getestet werden.

Entwurf von Algorithmen (26.10., 2.11., 9.11.2002)
An Hand von Beispielen soll zunächst der Algorithmusbegriff und der Begriff der Datenstruktur erläutert werden. Insbesondere sollen Stundenplan- und Fahrplanerstellung betrachtet werden. Es ist hierbei praktisch unmöglich, eine optimale Lösung zu finden. Die Teilnehmer sollen Lösungen ausknobeln. Anschließend werden am Beispiel von Java Konzepte zur Umsetzung auf den Rechner diskutiert.

3. Zusätzliche Veranstaltungen

Alle für die Projekte oder Kurse angenommenen Schüler haben die Möglichkeit, an 2 weiteren Kurzveranstaltungen teilzunehmen, die im Prinzip wie die Kurse organisiert sind, aber nur an einem Samstag stattfinden.

Diese Veranstaltungen sind (Termine in Klammern):


Physiologische Geometrie (19.10.02)
Es soll untersucht werden, wie das Gehirn aus ein paar Strichen ein Gebilde formt und was passiert, wenn man die Gesetze der Geometrie verletzt.

Zufall mit dem Computer (16.11.02)
Ziehen der Lottozahlen, Drehen eines Glücksrades, Werfen eines Würfels – das liefert Zufallszahlen. Durch Taschenrechner oder PC dagegen werden Zahlen berechnet. Was also tun, wenn man z. B. für Computerspiele berechnete Zufallszahlen braucht? Inwieweit sind die berechneten Zahlen dann noch zufällig? Wie kann man Zahlenfolgen erzeugen, die wenigstens einigermaßen zufällig aussehen? Im Kurs werden unterschiedliche Modelle zum Erzeugen von Zufall entwickelt, mit dem Rechner erprobt und – soweit möglich – mathematisch analysiert, und es werden verschiedene Verfahren zum Beurteilen der Güte von Zufall vorgestellt und diskutiert.

4. Weiter werden für die Teilnehmer der Projekte noch drei eingeladene Vorträge angeboten.

Informationen über weitere Veranstaltungen im Rahmen des Projektes "Perspektiven der Mathematik an der Schnittstelle zwischen Schule und Universität" findet man unter http://www.volkswagenstiftung.de.