Date: 08.07.1999
Language: written in GER
Abstract: The aim of this work is to gain statements on the classification
of tiling systems over the d-dimensional cubic lattice as more-dimensional
topological dynamical systems. In the centre of consideration is the
characterization of topological entropy as an important invariant with
respect to topological conjugacy as well as the clearing up of the structure
of tiling systems regarding to topological factors. Above all, the geometric
structure of the tilings should be used for it. For this purpose the
considerations are restricted to the class of cuboid systems as a
geometrically simple describable subclass.
Chapter 1 contains the introduction of essential notions and statements on
the connection between tiling systems and point configuration spaces in the
sense of Ruelle. In particular, we go into the difference of the usefulness
of a matrix calculation between dimension d=1 and d>1.
Chapter 2 is devoted to the investigation of topological entropy of the
shift-action on d-dimensional cuboid systems. For lattice dimension d=1
on the basis of an eigenvalue equation systems of equal entropy are
characterized. For dimensions d>1 we answer the question after the structure
of cuboid systems with zero entropy. Further there is worked out a method
to obtain upper and lower bounds for the entropy of any more-dimensional
cuboid system.
In chapter 3 there is investigated the notion of topological factor for the
class of d-dimensional cuboid systems. Using well-known results on the connection
of periodictiy, topological entropy and factor notion it is given a complete
characterization of factor relations between one-dimensional cuboid systems.
Further it is investigated the existence of factor cuboid systems with zero
entropy for cuboid systems of any dimension. As a result, essential qualitative
differences between systems of dimensions d>1 and d=1 in their structure
with respect to topological factors become clear.
In chapter 4 there is introduced the notion of a self-affine tiling over the
cubic lattice. The sub-tiling system which is generated by a self-affine tiling
is shown to be uniquely ergodic. Mixing properties of the measuretheoretical
dynamical system are investigated.
Abstract (in national language): Das Ziel der Arbeit ist die Gewinnung von Aussagen zur Klassifizierung
von Parkettsystemen über dem d-dimensionalen kubischen Gitter als mehrdimensionale
topologische dynamische Systeme. Im Mittelpunkt der Untersuchungen steht die
Charakterisierung der topologischen Entropie als wichtige Invariante bezüglich
topologischer Konjugiertheit sowie die Aufklärung der topologischen Faktorstruktur
von Parkettsystemen. Dabei soll vor allem die geometrische Struktur der
Parkettierungen berücksichtigt werden. Dazu erfolgt eine Einschränkung der
Betrachtungen auf die Klasse der Quadersysteme als eine geometrisch einfach
zu beschreibende Teilklasse.
Das 1. Kapitel beinhaltet die Einführung wesentlicher Begriffe und Aussagen
zum Zusammenhang von Parkettsystemen und Punktkonfigurationenräumen im Sinne
von D.Ruelle. Es wird insbesondere auf den Unterschied in der Nutzbarkeit eines
Matrixkalküls zwischen den Dimensionen d=1 und d>1 eingegangen.
Kapitel 2 widmet sich der Untersuchung der topologischen Entropie der Shift-
Wirkung auf d-dimensionalen Quadersystemen. Für die Gitterdimension d=1 werden
auf der Grundlage einer Eigenwertgleichung Systeme gleicher Entropie
charakterisiert. Für Gitterdimensionen d>1 wird die Frage nach der Struktur
von Quadersystemen verschwindender Entropie beantwortet. Darüber hinaus wird
ein Verfahren zur Gewinnung oberer und unterer Schranken für die Entropie
beliebiger mehrdimensionaler Quadersysteme entwickelt.
Gegenstand des 3. Kapitels ist die Untersuchung des topologischen Faktorbegriffs
für die Klasse der d-dimensionalen Quadersysteme. Unter Verwendung bekannter
Resultate zum Zusammenhang von Periodizität, topologischer Entropie und
Faktorbegriff für ein-dimensionale Systeme wird eine vollständige Charakterisierung
von Faktorbeziehungen zwischen ein-dimensionalen Quadersystemen angegeben.
Desweiteren wird die Existenz von Faktor-Quadersystemen der Entropie Null für
Quadersysteme beliebiger Dimension untersucht. Dabei werden wesentliche qualitative
Unterschiede in der Faktorstruktur von Systemen der Gitterdimension d>1 gegenüber
d=1 deutlich.
In Kapitel 4 wird der Begriff der selbstaffinen Parkettierung auf dem kubischen
Gitter eingeführt. Das von einer selbstaffinen Parkettierung erzeugte
Teil-Parkettsystem wird als eindeutig ergodisch charakterisiert und auf
maßtheoretische Mischungseigenschaften untersucht.