University:

Martin-Luther-Universitaet Halle-Wittenberg, Germany

Department:

Fachbereich Mathematik und Informatik

Algebra und Geometrie

Date: 12.06.1997

MSC:

20E99 None of the above but in this section

Language: written in ENG

Abstract: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Klassifikation sog.
semi\-klassischer parabolischer Systeme. Das Hauptergebnis ({\sc theorem} 1)
ist eine Liste der möglichen Diagramme und zugehörigen Amalgame
semiklassischer parabolischer Systeme vom Rang 4 unter der An\-nah\-me,
da{\ss} jedes Rang-3-Untersystem mit Diagramm
\parbox{23mm}{
\setlength{\unitlength}{1mm}%
\begin{picture}(25,5)%
\put(0,1){\makebox(0,0){$\circ$}}%
\put(10,1){\makebox(0,0){$\circ$}}%
\put(20,1){\makebox(0,0){$\circ$}}%
\put(10.5,0.4){\line(1,0){8.9}}%
\put(10.5,1.7){\line(1,0){8.9}}%
\put(0.7,1){\line(1,0){8.7}}%
\put(15,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle{\sim }$}}%
\end{picture}}}
zu der Gruppe $3^7Sp_6(2)$ gehört.

In der Arbeit wird im wesentlichen nach
der Amalgam-Methode vorgegangen, d.h. es werden Operationen der
parabolischen Untergruppen auf gewissen Moduln betrachtet. In
Kapitel 3 werden dazu zunächst die ``kleinen'' Moduln für das
$3U_4(3)$-Amalgam bestimmt. Das Ergebnis ({\sc theorem 2}) ist nicht nur
für die vorliegende Arbeit, sondern allgemein für die Bestimmung
semiklassischer parabolischer Systeme von Bedeutung, da dieses Amalgam
häufig als Untersystem vorkommt.

Eine herausragende Stellung in der
Arbeit nimmt in gewisser Weise das Diagramm \,
\parbox{33mm}{\setlength{\unitlength}{1mm}%
\begin{picture}(35,5)%
\put(0,1){\makebox(0,0){$\circ$}}%
\put(1,1){\line(1,0){8.7}}%
\put(10,1){\makebox(0,0){$\circ$}}%
\put(10.5,0.4){\line(1,0){8.9}}%
\put(10.5,1.7){\line(1,0){8.9}}%
\put(20,1){\makebox(0,0){$\circ$}}%
\put(15,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle{#5}$}}%
\put(0,3){\makebox{$\scriptstyle{#1}$}}%
\put(10,3){\makebox{$\scriptstyle{#2}$}}%
\put(20,3){\makebox{$\scriptstyle{#3}$}}%
\put(30,1){\makebox(0,0){$\circ$}}%
\put(21,1){\line(1,0){8.7}}%
\put(30,3){\makebox{$\scriptstyle{#4}$}}%
\end{picture}} ein,
welches eng mit der einfachen Gruppe vom Lie-Typ $F_4(2)$ verbunden ist. Es
wird gezeigt, da{\ss} die universelle Überlagerung (d.h. das freie
amalgamierte Produkt der parabolischen Untergruppen) stets eine zu
$F_4(2)$ isomorphe Faktorgruppe besitzt (insbesondere ist also das Amalgam
der maximal Parabolischen eindeutig bestimmt) und da{\ss} unter der
Annahme, da{\ss} der zugehörige Normalteiler abelsch ist, diese Gruppe
eine nichtzerfallende Erweiterung von $F_4(2)$ mit einer elementarabelschen
Gruppe der Ordnung $3^{833}$ ist. Ferner wird eine solche Erweiterung
$3^{833}F_4(2)$ konstruiert und somit ein Beispiel für die Existenz einer
Gruppe mit diesem Diagramm geliefert.